Buen quiero empezar con unos fáciles como descanso de vacaciones, primero dos de San Luis Potosí:
1) Un estudiante envía un mensaje pidiendo dinero, peor lo hizo en el siguiente mensaje codificado:
S E N D
+ M O R E
M O N E Y
Donde cada letra diferente es un número diferente y la palabra MONEY representa la cantidad que pidió.
¿Cuánto dinero pidió? Determina el valor de cada letra.
2) Sea $$a_1, a_2, a_3 \ldots$$ una sucesión definida recursivamente por
$$a_1=1$$
y para n>1
$$a_n = a_{n-1} +2n$$
Encuentre una fórmula cerrada para el n-ésimo término con forma de polinomio.
Encuentre una fórmula cerrada para el n-ésimo término con forma de polinomio.
Para el problema 1 los siguientes valores cumplen:
ResponderEliminarS=6
M=0
E=8
O=7
N=5
R=3
D=1
Y=9
Ok solo cada quien corrobore que sean los únicos, orecuerdo si había una o dos soluciones, me parece que era la única... Ahora sigan con el segundo
EliminarProblema 2.
ResponderEliminarDado a1=1 , utilizamos la formula an= a(n-1) + 2n, para encontrar los sig terminos de nuestra sucesión. Los primeros números de nuestra sucesión serian: 1,5,11,19,29,...
Por el metodo de las diferencias encontramos que la formula para nuestra sucesión es de segundo grado y es: an= n^2 + n -1, la formula funciona para los primeros n, pero tenemos que asegurar que funciona para cualquier n. Entonces tenemos que probar que:
Para n>1 se cumple que
an= a(n-1) + 2n = n^2 + n -1, y lo haremos por inducción matemática.
Base de inducción (BI): n=2 , a2= a(2-1) + 2(2) = 2^2 + 2 -1
a2=a1 + 4 = 6-1= 5 (puesto que a1=1).
Hipótesis de inducción (HI): Suponemos que nuestra igualdad se cumple para todo n hasta k, y queremos probar que funciona para k+1
(ak= a(k-1) + 2k = k^2 + k -1 , se usara más adelante).
a(k+1) = a((k+1)-1) + 2(k+1) = (k+1)^2 + (k+1) - 1.
= a(k) + 2k + 2 = k^2 + 2k +1 + k +1 -1
= k^2 + k -1 + (2k+2) = k^2 + 3k +1
= k^2 + k -1 + (2k+2) = = k^2 + k -1 + (2k+2)
Se cumple la igualdad, con esto aseguramos que la igualdad(an= a(n-1) + 2n = n^2 + n -1), se cumple para todo n, con esto demostramos que la formula an= n^2 + n -1 , sirve para encontrar el n-ésimo termino de la sucesión.
Nota: (HI) significa hipótesis de inducción, no era un saludo xD.